¿Quieres ser millonario? Resuelve uno de estos problemas matemáticos

En el año 2000, el Clay Mathematics Institute ofreció un premio para quien lograra resolver uno de los siete mayores problemas no resueltos de las matemáticas. El premio es de US $1 millón de dólares por cada solución. Hasta la fecha, apenas uno de los siete problemas fue resuelto.

Fundado en 1998 por un hombre de negocios de Boston y su esposa, el Clay Mathematics Institute (CMI) se dedica de lleno al desarrollo y divulgación de conocimientos matemáticos. El CMI es una organización sin fines de lucro y exenta de impuestos que apoya el trabajo de los principales investigadores en el área de las matemáticas.

En el año 2000, el Instituto presentó lo que denominaron Problemas del Milenio, que consistía en siete de los problemas más difíciles de las matemáticas que permanecían sin resolver al inicio del nuevo milenio. El objetivo del Clay Mathematics Institute’s Millennium Prize fue mostrar al público en general que el campo de las matemáticas aún está en desarrollo, con muchos problemas irresolutos y también como una forma de reconocer aquellos logros matemáticos que tienen una magnitud histórica importante.

Hasta la fecha sólo uno de los siete problemas fue resuelto. El matemático ruso Grigori Perelman publicó una serie de artículos en 2003 alegando haber dado solución a la conjetura de Poincaré. Dicha conjetura plantea la hipótesis de que un objeto tridimensional que está conectado sin agujeros es una esfera. En sus escritos, Perelman demostró la conjetura de la geometrización de Thurston, una extensión de lo que era la conjetura de Poincaré. Luego de una análisis cuidadoso de sus pruebas, a Perelman se le ofreció el premio de US$ 1 millón de dólares, pero este lo rechazó. De la misma forma, se negó a recibir la Medalla Fields, la más alta honra en el campo de las matemáticas, por su trabajo en la resolución del problema.

Los seis problemas restantes se ubican en una gama de disciplinas matemáticas. La hipótesis de Riemann implica una pregunta sobre números primos planteada por el matemático alemán Bernhard Riemann. La distribución de los números primos no parece seguir ningún patrón lógico, pero Riemann propuso una función que está estrechamente relacionada con la frecuencia en que aparecen estos números. La hipótesis afirma que las soluciones “interesantes” para la función cuando esta es igual a cero residen en una línea vertical específica. 10 mil millones de soluciones que se ajustaron a estos parámetros fueron encontradas, pero es una prueba de que toda solución interesante que se ajuste va a resolver el problema. Por otro lado, una prueba de que la solución no se encuentra en la línea, refutando la hipótesis, es también merecedora del premio.

El problema P vs NP está ampliamente relacionado con las ciencias de la computación. Un problema NP es aquel cuya respuesta es fácil de verificar, y un problema P es aquel cuya respuesta es fácil de encontrar. La cuestión es si existe o no un problema que sea fácil para un ordenador verificar, más increíblemente difícil para un ordenador resolver.

La Teoría de Yang-Mills es utilizada para describir las partículas elementales y es un factor importante en la teoría cuántica de campos. La Teoría de Yang-Mills, que fue probada en un laboratorio y ampliamente confirmada, depende de lo que se llama mass gap. La mass gap es la idea de que la masa de la partícula cuántica más ligera debe ser positiva.  Resolver este problema significa proporcionar una prueba teórica de la Teoría de Yang-Mills, donde la partícula más ligera sea positiva.

Los matemáticos del siglo XX propusieron una nueva forma de observar objetos completos. Aproximaron las formas de los objetos complejos combinando bloqueos geométricos simples para su construcción. Este proceso fue increíblemente útil en el campo de las matemáticas, pero dio lugar a una técnica generalizada. Para complementar la tarea en algunos casos, bloques de construcción sin ninguna interpretación geométrica tenían que ser añadidos. Esta pieza, llamadas ciclos de Hodge, fueron explicados en la conjetura de Hodge como combinaciones de piezas geométricas. Probar o refutar la conjetura de Hodge te vuelve merecedor al premio.

En el siglo XIX, la ecuación de Navier-Stokes fue registrada. Los matemáticos modernos creen que esta ecuación puede explicar y predecir el movimiento del agua y el aire. El problema es que nuestra comprensión de la ecuación es mínima. Encontrar una solución y probarla mediante esta ecuación te haría inmediato ganador al Millennium Prize.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer afirma la relación entre un grupo de puntos racionales y el número de puntos en una curva elíptica. La curva elíptica es una piedra angular de la matemática, que aparece en muchas áreas. Fue utilizada en la comprobación del Último Teorema de Fermat que, antes de la solución de Wiles, era considerado el mayor problema matemático no resulto. Así, la prueba de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer tendría enormes implicaciones en el mundo de las matemáticas. Lo mismo se podría decir de todos estos problemas, donde probar alguno podría cambiar nuestra percepción de esta ciencia, por los menos en cierto grado.